MATEMÁTICAS
Las matemáticas se presentan en la vida
cotidiana es por ello que debemos interpretarlas correctamente.
Prácticamente es un razonamiento.
¿Qué son las matemáticas?
La etimología de la palabra
matemática remite al griego mathema, que puede traducirse como
«estudio de un tema». Se define
como la ciencia
formal y exacta que, basada en
los principios de la lógica, estudia las propiedades y las relaciones que se
establecen entre los entes abstractos. Este concepto de ‘entes abstractos’
incluye a los números, los símbolos y las figuras geométricas, entre otros.
¿En qué campos se aplican las
matemáticas?
En
la vida cotidiana. donde con gran asiduidad se hacen cálculos
matemáticos, o bien mediciones y comparaciones. Tan omnipresente es la
matemática en nuestra vida que muchos expertos consideran a la ausencia
de nociones matemáticas como una variante del analfabetismo.
En
las ciencias exactas y naturales. En muchos casos (como la ingeniería
o la física), su
existencia misma se debe de al enfoque que aportan las matemáticas. En la biología o
la química también
es sumamente importante la matemática.
En
las ciencias sociales. como la economía o la psicología, que se
apoyan en conceptos matemáticos.
Incluso
en otras disciplinas y en las artes (música, escultura, dibujo). se
han utilizado y se utilizan recursos matemáticos.
¿Cuáles son las ramas de las matemáticas?
¿Cuáles son las ramas de las matemáticas?
Aritmética. Comprende
el estudio de los números. Además de los números naturales, incluye
a todos los números racionales, reales y complejos. Las operaciones que se
realizan con estos números están incluidas en esta rama.
Geometría. Comprende el estudio de las figuras y sus vínculos con
el espacio. Incluye a la trigonometría y a
la geometría descriptiva, entre otras.
Probabilidad y estadística. Comprende
el análisis de
las tendencias sobre la base de un muestreo; resulta de mucho interés
para las ciencias sociales.
Álgebra. Es la rama que se dedica a
analizar las estructuras,
realizando las operaciones aritméticas a través de letras o símbolos.
¿Qué es la algebra?
¿Qué es la algebra?
Se
conoce como álgebra a
la rama de la matemática en la cual las operaciones son generalizadas
empleando números, letras y signos que representan simbólicamente un número u
otra entidad matemática.
Según Baldor, álgebra es la rama de la
matemática que estudia la cantidad considerada del modo más general posible. En
este sentido, se puede reseñar que la enseñanza del álgebra está dominada por
la obra “Álgebra de Baldor”, libro del matemático cubano Aurelio Baldor, que
desarrolla y trata todas las hipótesis de esta ciencia.
PRODUCTOS
NOTABLES.
La noción de productos notables, sin embargo, no suele referirse a
esta cuestión, sino que se emplea en la matemática para
nombrar a determinadas expresiones
algebraicas que pueden factorizarse de manera inmediata,
sin recurrir a un proceso de diversos pasos.
En este sentido, debemos recordar que el concepto de producto, en el ámbito matemático, refiere al
resultado de una operación
de multiplicación. Los valores que entran en juego en estas
operaciones, por otra parte, se conocen como factores.
Una expresión algebraica que aparece con frecuencia y que puede
someterse a una factorización a simple vista, por lo tanto, se denomina
producto notable. Un binomio
cuadrado y el producto
de dos binomios conjugados son ejemplos de productos notables.
Binomio al cuadrado
Vamos a obtener el desarrollo o la expansión de
este binomio elevado al cuadrado, para continuar con este debemos saber esto o
recordemos este producto notable sobre esta situación la suma de dos cantidades
elevadas al cuadrado es igual a la primera cantidad elevada al cuadrado más dos
veces la primera cantidad por la segunda más la segunda por la segunda cantidad
elevada al cuadrado
= (A+ b)2 = a +2ab+b 2
Es un producto notable que da la importancia
que debemos hacer posible memorizar porque se utiliza para resolver este tipo
de situaciones
Entonces debemos con este Modelo a esta
representada por 3x y B está representa con 5y
Vamos entonces a construir esta expresión
comenzando con a2 es decir el componente 3x eso multiplicado por 5y es
conveniente proteger esas cantidades con paréntesis y más la cantidad B al
cuadrado es decir 5y encerrada en paréntesis elevando al cuadrado.
(3x)2+2(3x) (5y) +(5y)2
Aquí vamos a utilizar una propiedad de la
potenciación es la siguiente si tenemos un producto (a.b)n está elevado
con el exponente N entonces el exponente afecta a cada uno de esas cantidades
porque están multiplicado entonces siguiendo 3 al cuadrado por X al cuadrado
aquí respetamos el exponente 2 para cada uno de los siguientes factores a que
ya podemos resolver ese producto será un producto de binomios podemos multiplicar los números 2 × 3 nos da
6 y 6 por 5 nos da 30 y queda X por Y esas letras acompañan al número y luego tenemos
más donde nos queda 5 al cuadrado por Y respetando el exponente.
32.x2+30xy +52.y
Final mente desarrollamos estas dos potencias
nos queda 3 al cuadrado que nos da 9x2 más este término que queda intacto 30xy más 5
al cuadrado que nos da 25 y que queda y 2 que lo acompaña a aquí hemos
acabado
=9x2+30xy + 25y2
Binomios conjugados.
Un binomio conjugado de otro
binomio es aquel en el cual uno de sus términos difiere de los del otro
solamente por un signo. El binomio, tal como su nombre lo indica, es una
estructura algebraica que consta de dos términos.
A continuación, algunos ejemplos de binomios: (a
+ b), (3m – n) y (5x – y). Y sus
respectivos binomios conjugados son:(a – b), (-3m – n) y (5x + y). Como se
aprecia de inmediato, la diferencia está en el signo.
Un
binomio multiplicado por su conjugado da como resultado un producto notable que
se utiliza muchísimo en álgebra y ciencia. El resultado de la multiplicación es
la resta de los cuadrados de los términos del binomio original.
Por
ejemplo, (x – y) es un binomio y su conjugado es (x +
y). Entonces, el producto de los dos binomios es la diferencia de los
cuadrados de los términos:
(x – y).
(x + y) = x2 – y2
Ejemplos
A modo de
ejemplo de aplicación, comenzaremos por demostrar el resultado anterior, cosa
que puede realizarse usando la propiedad distributiva del producto respecto de
la suma algebraica.
(x – y)(x
+ y) = x.x + x.y – y.x – y.y
La
multiplicación anterior se obtuvo siguiendo estos pasos:
– Se
multiplica el primer término del primer binomio por el primer término del
segundo
– Luego
el primero del primero, por el segundo del segundo
–
Seguidamente el segundo del primero por el primero del segundo
–
Finalmente el segundo del primero por el segundo del segundo.
Ahora
hagamos un pequeño cambio usando la propiedad conmutativa: y.x =
x.y. Queda así:
(x – y)(x
+ y) = x.x + x.y – x.y – y.y
Como hay
dos términos iguales, pero de signo contrario (resaltados en color y
subrayados), se cancelan y se simplifica:
(x – y)(x
+ y) = x.x – y.y
Por último,
se aplica que multiplicar un número por sí mismo, equivale a elevarlo al
cuadrado, por lo que x.x = x2 y también y.y
= y2.
De esta
forma queda demostrado lo que se había señalado en la sección precedente, que
el producto de una suma por su diferencia, es la diferencia de los cuadrados:
(x – y).
(x + y) = x2 – y2
Trinomio
al cuadrado
En nuestro problema lo que es un trinomio
elevado al cuadrado para resolver debemos aplicar la propiedad que nos dan los
productos notables es decir si tenemos un trinomio elevado al cuadrado su
desarrollo tiene esta forma
=a 2 +b 2 + c 2+
2ab+2 bc+2ab
Descuerdo a ello para obtener el resultado de nuestro
problema debemos de adecuar a este desarrollo para lograr aquello en primera
instancia debemos identificar el rol de A de B y C lo cual es 3x, b y, y c 4
Teniendo todo eso claro vamos a continuar a
2 elevado al cuadrado, pero para nuestro problema a es 3x elevado al
cuadrado más para nuestro problema b es y, entonces será y 2 vamos a
sumar c al cuadrado ósea 4 elevamos al cuadrado luego seguimos sumando en la
siguiente sesión tenemos 2 que multiplicado a Y todo ello multiplica a B
seguimos sumando ponemos 2 que multiplica a B y todo ello multiplica a C finalmente
ponemos 2 que multiplica a A y todo ello que multiplica a C
(3 + y + 4) =3x 2 + y 2 +
4 2 +2.3 x.y+2.y.4 +2 .3x.4
ha hora aplicada
la propiedad lo único que nos queda hacer es simplificar todo el resultado
obtenido entonces tenemos lo siguiente el primer término es una multiplicación 3x
toda esa multiplicación está elevada al cuadrado ya que este término debemos
aplicar está propiedad
(K × L) 2 = k n × L
n
Nos dice que si tenemos una multiplicación y
toda la multiplicación está elaborada al cuadrado a un exponente lo que se
realiza es distribuir el exponente para cada uno de los factores entonces es
eso lo que vamos a distribuir para cada una de estos factores descuerdo a lo
mencionado nuestra expresión debería estar quedando del siguiente forma el
exponente se reparte para cada uno de los factores tanto para el 3 como para la
X aquí podemos decir que 3x al cuadrado que eso nos da 9x 2 a todo ello le vamos a sumar Y al cuadrado va a quedar tal cual más 4 al cuadrado que nos da 4 × 4 = 16
le sumamos toda esta expresión que vemos una multiplicación entonces multiplicamos 2 × 3 nos da 6 y 6 estará multiplicado a X y a Y le sumamos toda
lo siguiente expresión también es una multiplicación agrupamos convenientemente
y decimos que 2×4 igual a 8 y 8 que da multiplicado a Y finalmente el último término
que también es una multiplicación entonces multiplicamos 3×3×4 nos da 24 que
multiplica a X.
9x 2 + y2 +16+ 6xy+8y+24x
De esta manera hemos obtenido el resultado de
nuestro problema.
Binomio al cubo.
Para resolver
un binomio al cubo o saber cuál será su fórmula,
plantearemos lo siguiente:
Sea: (a + b)³ el cubo de un binomio a resolver.
Esta expresión también puede
plantearse así:
(a + b)³ = (a
+ b) (a + b)²
Recuerde que: (a + b)² es un
binomio al cuadrado y su desarrollo es: a² + 2ab + b²
Reemplazando:
(a + b)³ = (a
+ b) (a² + 2ab + b²)
Aplicando la ley distributiva
en el producto de factores:
(a + b)³ = a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³
Ordenando tenemos la
resolución del binomio al cubo:
∴ (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Así también, hubiéramos podido
desarrollar: (a – b)³.
En general
el Binomio al cubo tiene la siguiente Fórmula:
(a ± b)3 = a3 ± 3a2b
+ 3ab2 ± b3
Esta es la fórmula
de la suma o resta de binomio al cubo. A continuación,
veremos cada uno de ellos al detalle.
Suma de Binomio al Cubo
La suma de binomio al cubo es igual al cubo del
primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el
triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.
La fórmula o propiedad está
representado de la siguiente forma:
(a + b)3 = a3 + 3a2b
+ 3ab2 + b3
Ejemplo 01:
Resolver: (x + 1)3
Resolución:
(x + 1)3 = x3 + 3x2.1 + 3.x .12 + 13
Efectuamos y resolvemos:
∴ (x
+ 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1
Ejemplo 02:
Resolver: (2m+ n)3
Resolución:
(2m + n)3 = (2m)3 + 3(2m)2.n + 3.(2m) n2 + n3
Efectuamos y resolvemos:
∴ (2m
+ n)3 = 8m3 + 12m2.n + 6n2.m + n3
Resta de Binomio al Cubo
La diferencia de un binomio al cubo es igual al cubo
del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el
segundo, más el triple del primero por el cuadrado del
segundo, menos el cubo del segundo.
La fórmula o propiedad está
representado de la siguiente forma:
(a – b)3 = a3 – 3a2b
+ 3ab2 – b3
Ejemplo 03:
Resolver: (y – 2)3
Resolución:
(y – 2)3 = (y)3 – 3(y)2.2 + 3.y.22 – 23
Resolvemos, tenemos:
∴
(y – 2)3 =
y3 – 6y2 +
12y – 8
Ejemplo 04:
Resolver: (a – 2b)3
Resolución:
(a – 2b)3 = a3 – 3a2(2b) + 3.a(2b)2 + (2b)3
Efectuamos y resolvemos:
∴
(a – 2b)3 =
a3 – 6a2b + 6ab2 + 8b3
FACTORIZACION
La factorización es un método a través del cual
un polinomio se expresa en forma de multiplicación de factores, que pueden ser
números, letras, o ambos…Así, cuando los factores se multiplican entre si el
resultado es el polinomio original.
Factor común
Veamos está situación. Si tenemos 3x+3y es
decir un binomio vemos que el 3 es el número que se encuentra repetido en los
dos términos está multiplicación con la x con la Y por lo tanto 3 es del factor
común entonces décimos 3 es factor de –
si este término le quitamos el 3 se queda la X más y al siguiente término le
quitamos el 3 es Y está sería la factorización de 3x+3y
3x+3y =3(X + Y )
Diferencia de cuadrados.
Se le llama
diferencia de cuadrados al binomio conformado por dos términos a los que se les
puede sacar raíz cuadrada exacta, además un término es positivo y el otro es
negativo (a2-b2).
A Continuación,
explicaremos cómo resolverlos:
La expresión a
resolver es:
100m2n4-169y6
·
Primero separaremos la parte literal de la numérica
100 / m2n4 / - 169 / y6
·
Después calculamos las raíces cuadradas tanto de la parte literal como
numérica.
100 / m2n4 / - 169 / y6
Los
resultados quedan así:
10 / mn2 / - 13 / y3
·
Se ponen dos paréntesis uno con signo positivo y el otro con negativo.
En ellos se colocarán los resultados obtenidos anteriormente de la siguiente
forma.
(10 mn2 + 13 y3 ) (10
mn2 - 13 y3 )
Ya está terminada tu factorización.
Trinomio cuadrado
perfecto.
1: Primero es
identificar si es un trinomio cuadrado perfecto, para ello lo identificaremos
si el primer término y el ultimo tienen raíz cuadrada
X 2 +
10x + 25
2: Antes de
empezar primero tenemos que darnos cuenta si esta ordenado desde la potencia más
grande después la mitad del primer término.
X 2 +
10x + 25
3: Después de
identificarlos le sacamos raíz cuadrada a el primer término y al ultimo .
(5 + x)
4: Por ultimo
ponemos los términos obtenidos entre paréntesis afectados por la potencia
cuadrada.
(5 + x)2
Trinomio de la forma
X2 +
11x + 24
1. Para resolver este tipo de factorización lo
primero que hacemos es colocar dos paréntesis. El primero con el segundo signo
del segundo y al segundo paréntesis se le pone el signo de la multiplicación de
los signos del segundo y tercer término.
( + )( + )
2. En ambos paréntesis se coloca la raíz
cuadrada del primer término.
La raíz cuadrada de x2 es x
(x + )( x + )
3. Posteriormente buscamos dos signos que al
multiplicarse den el valor de c 24 y al aplicar las leyes de los signos de suma
y sustracción den el valor de bx 11
Los números que se requieren son:
( x + 8 )( x + 3 )
Tu factorización ya está lista.
Trinomio de
la forma x 2 + bx + c
Este tipo de trinomio tiene las siguientes
características:
- Tienen
un término positivo elevado al cuadrado y con coeficiente 1 (
).
- Posee
un término que tiene la misma letra que el termino anterior pero elevada a
1 (bx) (puede ser negativo o positivo).
- Tienen
un término independiente de la letra que aparece en los otros dos (+ o -).
Reglas para factorizar un trinomio de esta forma:
1. Se descompone el trinomio en dos factores binomios
cuyo primer término será la raíz cuadrada del término .
.
2. El signo del primer binomio será el mismo signo que
tenga el término “bx”, el signo del segundo binomio será igual a la
multiplicación de los signos de “bx” y de “c”.
3. Si los dos factores tienen signos
iguales entonces se buscan dos números cuya suma sea igual que el valor
absoluto del factor “b” de “bx”, y cuyo producto sea igual al valor absoluto
del factor “c”, estos números son los segundos términos de los factores
binomios.
4. Si los dos factores tienen signos
diferentes entonces se buscan dos números cuya diferencia sea igual que el
valor absoluto del factor “b” de “bx”, y cuyo producto sea igual al valor
absoluto del factor “c”, el mayor de estos números será el
segundo término del primer factor binomio, y el menor de estos
números será el segundo término del segundo factor binomio.
Ejemplo explicativo:
Ejemplos:
Detengámonos un poco en los últimos dos
ejemplos.
En el tercero podemos ver que lo que hemos llamado
“x” no es una sola letra, pero aun así se utiliza el mismo procedimiento, esto
es porque el “x” es un factor lo que implica que no necesariamente será una
simple letra, este puede ser también un polinomio completo.
Siguiendo con el tercero vemos su cantidad numérica
es bastante elevada y no todos pueden ver fácilmente los números que buscamos,
una herramienta bastante útil es descomponer este número en sus factores
primos, de esta manera sabemos que cualquier combinación que hagamos al
multiplicar estos números para formar los dos que busco cumplirán con el
requisito multiplicativo y solo me preocupare por cumplir la suma
algebraica. Así:
En el cuarto ejemplo se observa que el término “c”
no es un simple numero sino que tiene una forma 
, en este caso no se ha hecho ninguna diferencia
simplemente se ha tomado como factor “b” como si fuera “21m” así al multiplicar
(7m)(14m) nos resulta 
y al sumar 7m + 14m nos da 21m, con lo que
se cumple con los requisitos.
, en este caso no se ha hecho ninguna diferencia
simplemente se ha tomado como factor “b” como si fuera “21m” así al multiplicar
(7m)(14m) nos resulta 
y al sumar 7m + 14m nos da 21m, con lo que
se cumple con los requisitos.
Los términos “x”, “b” y “c” pueden ser cualquier
cosa, ya sea números, letras, o polinomios, solo se necesita que se cumplan las
reglas indicadas.
Suma y diferencia de cubos.
En este caso se factorizan dos términos los
cuales se distinguen por tener raíces cúbicas exactas.
Se diferencian en los signos.
Nota: cuando
sea una sjma6 de cubos los signos del segundo paréntesis serán (+ - +). Cuando
sea una diferencia de cubos los signos del segundo paréntesis serán (+ + +).
Se resuelven de la siguiente manera.
·
La expresión que resolveremos es: 8x3 + 27y6 .
·
Identificamos si es suma o resta. En este caso es suma.
·
Abrimos dos paréntesis, bajo los signos antes mencionados.
( +) (+ - +)
·
Posteriormente sacamos las raíces cúbicas exactas de los términos
involucrados. Se puede hacer por separado, aparte la parte numérica y aparte la
literal.
8 x3 + 27 y6
Quedando el siguiente resultado que se
colocará en el primer paréntesis
(2x + 3y2 )
·
Para sacar el resultado del segundo paréntesis se tienen que seguir los siguientes
pasos:
1. Se va a trabajar con los dos términos del
primer paréntesis.
2. Se eleva el primer término al cuadrado.
(2a)2
= 2a2
3. Se multiplica el primer término por el
segundo.
(2a) (3b2)
= 6ab 2
4. Se eleva al cuadrado el segundo término.
(3b2)
= 9b4
5. Se acomodan los resultados en el segundo paréntesis
en el orden que los fuimos resolviendo.
(4a2 - 6ab2 + 9b4)
6. Nuestro resultado queda de la siguiente forma.
(2x + 3y2
) (4a2 - 6ab2
+ 9b4)
Factorización para completar el trinomio cuadrado perfecto.
El
objetivo de esta factorización es completar un trinomio cuadrado simple x+bx+c= 0 en un trinomio cuadrado perfecto.
Se
resuelve de la siguiente manera.
· La expresión que resolveremos es:
m2 - 4m - 32 = 0
·
Tomamos el valor de b lo dividimos entre dos y el resultado lo elevamos
al cuadrado.
En este caso el valor de b es: 4
(4/2) 2
(2)2 = 4
·
Volvemos a escribir la expresión, pero anotando el resultado obtenido
con signo positivo como el tercer término y con signo negativo como cuarto
término.
m2 - 4m + 4 – 4 – 32
·
Se agrupan los tres primeros términos poniéndolos entre paréntesis.
(m2 - 4m + 4) – 4 –
32
Agrupando los tres primeros términos
confirmamos que se formó un trinomio cuadrado perfecto.
·
Ahora que ya completamos el trinomio cuadrado perfecto, vamos a
resolverlo y a reducir términos semejantes en la parte de afuera.
(m2 - 4m + 4) – 4 – 32
(m -
2)2 – 36
·
Ahora sacaremos la raíz cuadrada del binomio al cuadrado y el término
que está fuera.
(m - 2)2 – 36 =
m – 2
- 6
Al tener la potencia cuadrada afectando al
binomio, la raíz cuadrada y la potencia se eliminan dejando solo los términos.
·
Ahora al binomio se le va agregar la raíz cuadrada del termino de que
esta fuera del paréntesis con signo positivo y se resuelve.
m - 2 + 6 = m + 4
·
Al binomio se le agregará el resultado de la raíz cuadrada del término
que estaba fuera con signo negativo y se resuelve.
m - 2 - 6 = m – 8
·
Por último, los dos resultados obtenidos en los dos pasos anteriores se
colocan cada uno entre paréntesis.
(m – 8) (m + 4)
·
Para comprobar se multiplican ambos términos y si el resultado es l
expresión con la que se trabajó ya está correcto.
Bibliografía
Consultadas el martes 25
de febrero en:
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